【摘要】 FEqa 是一种对有限元离散化问题进行数值求解的技术。显示了针对各种问题的收敛性，并证明了扩展该方法的潜力。

FEqa 是一种对有限元离散化问题进行数值求解的技术。显示了针对各种问题的收敛性，并证明了扩展该方法的潜力。每次迭代所需的退火次数较少，使得量子退火成为解决相对较大问题的可行方法。对于使用总退火时间的较大问题，与模拟退火相比，具有明显的优势。据观察，对于某些问题，迭代次数随着 N 的增长而缓慢增长。然而，当前可用的退火器硬件的量子位计数和连接图限制了可解决问题的规模。随着硬件的改进，更高的量子位计数和更密集的图形将允许在量子退火器上解决更复杂的网格和问题。未来的退火器硬件预计将实现非随机哈密顿量，以提高性能[1,2]。未来硬件中 qudits 的可能性将允许更简单的嵌入，而无需嵌套迭代来执行 3N 和 4N 搜索，同时解决使用嵌套迭代的 3N 搜索的概率偏差问题。我们方法的局限性在于矩阵 Di 仅限于单位矩阵，并消除了一些非零条目以强制执行边界条件。删除此限制以允许 Di 成为仍强制执行边界条件的通用矩阵将允许搜索邻域旋转和拉伸。这为以下可能性打开了大门：使用矩阵的已知属性来优化搜索方向，或使用自适应算法来使用先前迭代的信息来实现更快的收敛。所提出的方法还可以通过线性化扩展到非线性问题。通过使用经典技术以获得更好的初始猜测，也可以提高 FEqa 的性能。使用低成本经典方法获得低精度初始猜测并使用 FEqa 改进该解决方案可能是一个可行的选择。 FEqa 还可以用于改进经典计算机上的完全收敛解，方法是直接在经典解附近搜索更好的解，而经典解算器由于浮点离散化误差而无法找到这些解。提出的技术有可能扩展到非线性问题。 Abel 等人 [3] 使用量子退火通过激活函数的多项式近似来优化神经网络，并提供一种编码技术，通过引入与 Chang 等人使用的技术类似的辅助交互项，将任意高阶多项式交互项减少为二次项等[32]。由于这些技术使用直接退火来解决更大的问题很困难，并且迭代退火方法可能会产生改进的性能。使用这些技术，FEqa 可以扩展到迭代解决非线性有限元问题。

 

[1] I. Ozfidan, C. Deng, A.Y. Smirnov, T. Lanting, R. Harris, L. Swenson, J. Whittaker, F. Altomare, M. Babcock, C. Baron, A.J.Berkley, K. Boothby, H. Christiani, P. Bunyk, C. Enderud, B. Evert, M. Hager, A. Hajda, J. Hilton, M.H. . . . Amin, Demonstration of a nonstoquastic Hamiltonian in coupled superconducting flux qubits, Phys. Rev. A 13 (3) (2020) 1–15,http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevApplied.13.034037.

[2] J. Preskill, Quantum computing in the NISQ era and beyond, Quantum 2 (July) (2018) 1–20, http://dx.doi.org/10.22331/q-2018-08-06-79.

[3] S. Abel, J.C. Criado, M. Spannowsky, Completely quantum neural networks, 2022, http://arxiv.org/abs/2202.11727

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